O demonstrație a inegalității lui Durrande

de Laurențiu Panaitopol

În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: R~>=~3r” title=”R~>=~3r”/></p>
<p style=În această scurtă notă vom da o demonstrație foarte simplă a inegalității (1), în care cunoștințele necesare sunt minime.

Datorită profundei analogii dintre triunghi și tetraedru, vom aborda mai întâi problema plană bine cunoscută (inegalitatea lui Euler):

Într-un triunghi ABC în care R și r sunt razele cercurilor circumscri și înscris, avem: R~>=~2r” title=”R~>=~2r”/></p>
<p style=Vom demonstra mai întâi următoarea:

Lema 1. Fie triunghiurile ABC și A_1B_1C_1, unde A_1~in~(BC),~B_1~in~(CA) și C_1~in~(AB). Dacă rho este raza cercului circumscris triunghiului A_1B_1C_1 și r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci: rho~>=~r” title=”rho~>=~r”/></p>
<hr />
<p style=

Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora).

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

No Comments Yet

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *