O demonstrație a inegalității lui Durrande

de Laurențiu Panaitopol

În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: R~>=~3r” title=”R~>=~3r”/></p>
<p style=În această scurtă notă vom da o demonstrație foarte simplă a inegalității (1), în care cunoștințele necesare sunt minime.

Datorită profundei analogii dintre triunghi și tetraedru, vom aborda mai întâi problema plană bine cunoscută (inegalitatea lui Euler):

Într-un triunghi ABC în care R și r sunt razele cercurilor circumscri și înscris, avem: R~>=~2r” title=”R~>=~2r”/></p>
<p style=Vom demonstra mai întâi următoarea:

Lema 1. Fie triunghiurile ABC și A_1B_1C_1, unde A_1~in~(BC),~B_1~in~(CA) și C_1~in~(AB). Dacă rho este raza cercului circumscris triunghiului A_1B_1C_1 și r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci: rho~>=~r” title=”rho~>=~r”/></p>
<hr />
<p style=

Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora).

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

Similar posts
  • Credința Lucrătoare Prin Iubire ̵... Radio Trinitas a publicat un reportaj in care cazul domnului Laurentiu Panaitopol este discutat. Va invitam sa ascultati printr-un simplu click [...]
  • Matematica cu… GeoGebra [...]
  • 2 – 1 = dor “Să știți că eu am fost o femeie foarte fericită”. Profesoara de matematică Maria Panaitopol vorbește rar și răspicat, dar cuvintele ei poartă atâta nostalgie, că parcă și pisălogul pendul agățat pe perete bate mai discret. Când rostește numele soțului său, doamna Panaitopol, care a împlinit de curând 70 de ani, devine mult mai tânără. Vocea i se încălzește, [...]
  • O aplicație a teoremei lui Catalan de L. Panaitopol și M. Pârvulescu Enunțată în 1844 de Eugène Catalan și demonstrată recent de Preda Mihăilescu, teorema lui Catalan are următorul enunț: Unica soluției a ecuației: unde m, n, x, y sunt numere întregi supraunitare, este: Folosing teorema lui Catalan, vom rezolva în numere întregi ecuațiile: unde =~n~>=1″ title=”m~>=~n~>=1″/>.   Click aici pentru varianta [...]
  • Consecințe ale inegalității lui Hölde... de Laurențiu Panaitopol Această notă este inspirată de un consistent articol ([1]) publicat recent de Titu Maiorescu și Mircea Lascu în această revistă. Autorii demonstrează că pentru =~0, i~in~overline{1,n}” title=”a_i~_>=~0, i~in~overline{1,n}”/>, avem: =~3/2″ title=”1/{a^3(b~+~c)}~+~1/{b^3(c~+~a)}~+~1/{c^3(a~+~b)}~>=~3/2″/>. Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora). Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică [...]

No Comments Yet

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *