de Laurențiu Panaitopol
În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: În această scurtă notă vom da o demonstrație foarte simplă a inegalității (1), în care cunoștințele necesare sunt minime.
Datorită profundei analogii dintre triunghi și tetraedru, vom aborda mai întâi problema plană bine cunoscută (inegalitatea lui Euler):
Într-un triunghi ABC în care R și r sunt razele cercurilor circumscri și înscris, avem: Vom demonstra mai întâi următoarea:
Lema 1. Fie triunghiurile și
, unde
și
. Dacă
este raza cercului circumscris triunghiului
și
este raza cercului înscris în triunghiul
, atunci:
Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică