Criteriul lui Perron de ireductibilitate a polinoamelor cu coeficienți întregi

de Laurențiu Panaitopol

Deși datează din 1908, criteriul pe care îl vom prezenta este mai puțin cunoscut poate și pentru că lema utilizată în demonstrarea sa face apel la un rezultat dificil de analiză complexă și anume “Teorema lui Rouche de variație a argumentului”. [1]

În cele ce urmează vom prezenta, cu o demonstrație elementară – lema amintită și apoi criterul lui Perron.

Lemă. Fie f~=~X^n~+~a_{n-1} X^{n-1}~+~...a_1 X~+~a_0,~f~in~bbZ[X]. Dacă delim{|}{a_{n-1}}{|}~>~1~+~delim{|}{a_{n-2}}{|}~+~…~+~delim{|}{a_1}{|}~+~delim{|}{a_0}{|}” title=”delim{|}{a_{n-1}}{|}~>~1~+~delim{|}{a_{n-2}}{|}~+~…~+~delim{|}{a_1}{|}~+~delim{|}{a_0}{|}”/> (*) atunci una dintre rădăcinile polinomului ar emodulul supraunitar iar celelalte au modulul subunitar.</em></p>
<p style=Demonstrație. Putem presupune a_0~<>~0″ title=”a_0~<>~0″/> deoarece, în caz contrat <img src= unde g are termenul liber nenul și raționamentul se face pentru g. Vom arăta că dacă există relația (*), polinomul nu poate avea rădăcină a cu delim{|}{a}{|}~=~1.

Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora).

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

No Comments Yet

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *