Binomul lui Newton

5 martie 2016 Leave a Comment Written by lawrence

de Laurențiu Panaitopol

Într-o notă publicată la această rubrică (G.M. nr. 9/1983) au fost prezentate câteva exerciții în care se utilizează simbolurile C^k_n,~A^k_n. În cele ce urmează vom căuta să atragem atenția asupra celor mai frecvente probleme – de dificultate medie – care se rezolvă cu ajutorul formulelor:

(a~+~b)^n~=~C^0_n a^n~+~C^1_n a^{n-1}b~+~...~+~C^{n-1}_n ab^{n-1}~+~C^n_n b^n~=~sum{k=0}{n}{C^k_n a^{n-k}b^k},

(a~-~b)^n~=~C^0_n a^n~-~C^1_n a^{n-1}b~+~...~+~(-1)^{n-1}C^{n-1}_n ab^{n-1}~+~(-1)^n C^n_n b^n~=~sum{k=0}{n}{(-1)^k C^k_n a^{n-k}b^k}

unde n~in~bbN~/~delim{lbrace}0{rbrace} și a,~b~in~bbC.

În fiecare dezvoltare sunt n + 1 termeni.

În primul caz, termenul de rang k + 1 este T_{k+1}~=~C^k_n a^{n-k}b^k, iar în al doilea caz T_{k+1}~=~(-1)^{k}C^k_n a^{n-k}b^k.

Exercițiul 1. Dacă a,~b~in~bbC~/~delim{lbrace}0{rbrace} în dezvoltarea lui (a~+~b)^n, atunci nu există 3 termeni consecutivi egali.

Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora).

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

Profesor
Similar posts
  • Credința Lucrătoare Prin Iubire ̵... — Radio Trinitas a publicat un reportaj in care cazul domnului Laurentiu Panaitopol este discutat. Va invitam sa ascultati printr-un simplu click [...]
  • Matematica cu… GeoGebra — [...]
  • 2 – 1 = dor — “Să știți că eu am fost o femeie foarte fericită”. Profesoara de matematică Maria Panaitopol vorbește rar și răspicat, dar cuvintele ei poartă atâta nostalgie, că parcă și pisălogul pendul agățat pe perete bate mai discret. Când rostește numele soțului său, doamna Panaitopol, care a împlinit de curând 70 de ani, devine mult mai tânără. Vocea i se încălzește, [...]
  • O aplicație a teoremei lui Catalan — de L. Panaitopol și M. Pârvulescu Enunțată în 1844 de Eugène Catalan și demonstrată recent de Preda Mihăilescu, teorema lui Catalan are următorul enunț: Unica soluției a ecuației: unde m, n, x, y sunt numere întregi supraunitare, este: Folosing teorema lui Catalan, vom rezolva în numere întregi ecuațiile: unde =~n~>=1″ title=”m~>=~n~>=1″/>.   Click aici pentru varianta [...]
  • O demonstrație a inegalității lui Dur... — de Laurențiu Panaitopol În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: =~2r” title=”R~>=~2r”/> Vom demonstra mai întâi următoarea: Lema 1. Fie triunghiurile și , unde și . Dacă este raza cercului circumscris triunghiului și este raza cercului înscris în triunghiul , [...]

No Comments Yet

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *