Asupra unei inegalități geometrice

23 februarie 2016 Leave a Comment Written by lawrence

de Laurențiu Panaitopol, asistent univ., București

În numărul 11/1980 al G.M., dr. Viorel Vodă atrage atenția asupra unei probleme elementare, a cărei rezolvare în varianta a doi matematicieni nigerieni, G. S. Lessels și M. Y. Pelling, a făcut necesară intervenția calculatorului, solicitat nu mai puțin de 10,65 ore. Este vorba de inegalitatea:

i_{a}~+~i_{b}~+~m_{c}~<=~p~sqrt{3} unde i_{a}, i_{b} sunt lungimi de bisectoare, m_{c} este lungimea unei mediane, iar p este semiperimetrul unui triunghi ABC.

Soluția prezentată de autorii menționați în revista iugoslavă “Publicacije Electrotehnikog Faculteta” presupune cunoștințe legate de aflarea extremelor funcțiilor de mai multe variabile, adică depășește cadrul matematicii elementare.

Vom da în continuare o soluție accesibilă majorității cititorilor G. M.

Fără a particulariza, vom considera p~=~1. Notând p ~-~a~=~x;~p~-~b~=~y rezultă: ~a~=~1~-~x;~b~=~1~-~y;~c~=~x~+~y; ~x,~y,~x~+~y~in~(0,1), unde ~a,~b,~c sunt lungimile laturilor.

Deoarece i_a~=~2/{b~+~c} sqrt{bcp(p~-~a)} și m_c~= sqrt{{a^2~+~b^2}/2~-~c^2/4}, inegalitatea de demonstrat devine:

f(x,y)~=~2/{1~+~x} sqrt{~x(1~-~y)(x~+~y)} +2/{1~+~y} sqrt{y(1~-~x)(x~+~y)} +sqrt{1~-~x~-~y~+~({x~-~y}/2)^2 }<=~ sqrt{3}

Se observă cu ușurință că pentru x~=~y~=~1/3, adică pentru triunghiul echilateral, se realizează egalitatea.

Din egalitatea mediilor aritmetice și geometrice rezultă:

2 sqrt{~(1~-~y)(x~+~y)}~<=~1~+~x și 2 sqrt{(1~-~x)(x~+~y)}~<=~1~+~y.

Așadar f(x,y) <=~sqrt{x}~+~sqrt{y}~+~sqrt{1~-~x~-y~+({x~-~y}/2)^2}

Este suficient să arătăm că:

g(x,y)~=~sqrt{x}~+~sqrt{y}~+~sqrt{1~-~x~-y~+({x~-~y}/2)^2} <=~sqrt{3}

Folosim inegalitatea u~+~v~<=~sqrt{2(u^2~+~v^2)},~u,~v~in~bbR și obținem:

sqrt{y}~+~sqrt{1~-x~-y~+({x~-~y}/2)^2}~<=~sqrt{2[y~+~1~-x~-y~+({x~-~y}/2)^2]}~=~sqrt{2~-~2x~+(x~-~y)^2/2}

Click aici pentru varianta completă a articolului.

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

Profesor
Similar posts
  • Credința Lucrătoare Prin Iubire ̵... — Radio Trinitas a publicat un reportaj in care cazul domnului Laurentiu Panaitopol este discutat. Va invitam sa ascultati printr-un simplu click [...]
  • Matematica cu… GeoGebra — [...]
  • 2 – 1 = dor — “Să știți că eu am fost o femeie foarte fericită”. Profesoara de matematică Maria Panaitopol vorbește rar și răspicat, dar cuvintele ei poartă atâta nostalgie, că parcă și pisălogul pendul agățat pe perete bate mai discret. Când rostește numele soțului său, doamna Panaitopol, care a împlinit de curând 70 de ani, devine mult mai tânără. Vocea i se încălzește, [...]
  • O aplicație a teoremei lui Catalan — de L. Panaitopol și M. Pârvulescu Enunțată în 1844 de Eugène Catalan și demonstrată recent de Preda Mihăilescu, teorema lui Catalan are următorul enunț: Unica soluției a ecuației: unde m, n, x, y sunt numere întregi supraunitare, este: Folosing teorema lui Catalan, vom rezolva în numere întregi ecuațiile: unde =~n~>=1″ title=”m~>=~n~>=1″/>.   Click aici pentru varianta [...]
  • O demonstrație a inegalității lui Dur... — de Laurențiu Panaitopol În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: =~2r” title=”R~>=~2r”/> Vom demonstra mai întâi următoarea: Lema 1. Fie triunghiurile și , unde și . Dacă este raza cercului circumscris triunghiului și este raza cercului înscris în triunghiul , [...]

No Comments Yet

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *