Asupra unei inegalități geometrice

de Laurențiu Panaitopol, asistent univ., București

În numărul 11/1980 al G.M., dr. Viorel Vodă atrage atenția asupra unei probleme elementare, a cărei rezolvare în varianta a doi matematicieni nigerieni, G. S. Lessels și M. Y. Pelling, a făcut necesară intervenția calculatorului, solicitat nu mai puțin de 10,65 ore. Este vorba de inegalitatea:

i_{a}~+~i_{b}~+~m_{c}~<=~p~sqrt{3} unde i_{a}, i_{b} sunt lungimi de bisectoare, m_{c} este lungimea unei mediane, iar p este semiperimetrul unui triunghi ABC.

Soluția prezentată de autorii menționați în revista iugoslavă “Publicacije Electrotehnikog Faculteta” presupune cunoștințe legate de aflarea extremelor funcțiilor de mai multe variabile, adică depășește cadrul matematicii elementare.

Vom da în continuare o soluție accesibilă majorității cititorilor G. M.

Fără a particulariza, vom considera p~=~1. Notând p ~-~a~=~x;~p~-~b~=~y rezultă: ~a~=~1~-~x;~b~=~1~-~y;~c~=~x~+~y; ~x,~y,~x~+~y~in~(0,1), unde ~a,~b,~c sunt lungimile laturilor.

Deoarece i_a~=~2/{b~+~c} sqrt{bcp(p~-~a)} și m_c~= sqrt{{a^2~+~b^2}/2~-~c^2/4}, inegalitatea de demonstrat devine:

f(x,y)~=~2/{1~+~x} sqrt{~x(1~-~y)(x~+~y)} +2/{1~+~y} sqrt{y(1~-~x)(x~+~y)} +sqrt{1~-~x~-~y~+~({x~-~y}/2)^2 }<=~ sqrt{3}

Se observă cu ușurință că pentru x~=~y~=~1/3, adică pentru triunghiul echilateral, se realizează egalitatea.

Din egalitatea mediilor aritmetice și geometrice rezultă:

2 sqrt{~(1~-~y)(x~+~y)}~<=~1~+~x și 2 sqrt{(1~-~x)(x~+~y)}~<=~1~+~y.

Așadar f(x,y) <=~sqrt{x}~+~sqrt{y}~+~sqrt{1~-~x~-y~+({x~-~y}/2)^2}

Este suficient să arătăm că:

g(x,y)~=~sqrt{x}~+~sqrt{y}~+~sqrt{1~-~x~-y~+({x~-~y}/2)^2} <=~sqrt{3}

Folosim inegalitatea u~+~v~<=~sqrt{2(u^2~+~v^2)},~u,~v~in~bbR și obținem:

sqrt{y}~+~sqrt{1~-x~-y~+({x~-~y}/2)^2}~<=~sqrt{2[y~+~1~-x~-y~+({x~-~y}/2)^2]}~=~sqrt{2~-~2x~+(x~-~y)^2/2}

Click aici pentru varianta completă a articolului.

Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică

No Comments Yet

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Concursul Interjudetean de Matematica si Fizica “Laurentiu Panaitopol”

Va multumim pentru participare!

Subiectele, rezultatele si fotografiile ediției din acest an a Concursului Interjudetean de Matematica si Fizica “Laurentiu Panaitopol” sunt disponibile la această adresă.