Monthly archives for March, 2016

O aplicație a teoremei lui Catalan

1

de L. Panaitopol și M. Pârvulescu Enunțată în 1844 de Eugène Catalan și demonstrată recent de Preda Mihăilescu, teorema lui Catalan are următorul enunț: Unica soluției a ecuației: unde m, n, x, y sunt numere întregi supraunitare, este: Folosing teorema lui Catalan, vom rezolva în numere întregi ecuațiile: unde =~n~>=1″ title=”m~>=~n~>=1″/>.   Click aici pentru varianta […]

O demonstrație a inegalității lui Dur...

1

de Laurențiu Panaitopol În 1823 Durrande a demonstrat că între razele sferelor circumscrisă (R) și înscrisă (r) ale unui tetraedru are loc inegalitatea: =~2r” title=”R~>=~2r”/> Vom demonstra mai întâi următoarea: Lema 1. Fie triunghiurile și , unde și . Dacă este raza cercului circumscris triunghiului și este raza cercului înscris în triunghiul , atunci: 

Consecințe ale inegalității lui Hölde...

1

de Laurențiu Panaitopol Această notă este inspirată de un consistent articol ([1]) publicat recent de Titu Maiorescu și Mircea Lascu în această revistă. Autorii demonstrează că pentru =~0, i~in~overline{1,n}” title=”a_i~_>=~0, i~in~overline{1,n}”/>, avem: =~3/2″ title=”1/{a^3(b~+~c)}~+~1/{b^3(c~+~a)}~+~1/{c^3(a~+~b)}~>=~3/2″/>. Click aici pentru varianta completă a articolului (conține restul exercițiilor și soluțiile acestora). Toate drepturile rezervate: Gazeta Matematică 1895-2010 Ediție Electronică  

Criteriul lui Perron de ireductibilit...

1

de Laurențiu Panaitopol Deși datează din 1908, criteriul pe care îl vom prezenta este mai puțin cunoscut poate și pentru că lema utilizată în demonstrarea sa face apel la un rezultat dificil de analiză complexă și anume “Teorema lui Rouche de variație a argumentului”. [1] În cele ce urmează vom prezenta, cu o demonstrație elementară […]

Câteva aplicații ale teoremei lui Cau...

1

de Laurențiu Panaitopol Propoziția 1. Fie I un interval și funcțiile  derivabile și 

O rafinare a formulei lui Stirling

1

de Laurențiu Panaitopol Este binecunoscută aproximarea factorialului dată de formula lui Stirling . O demonstrație a acestei formule a publicat și Gazeta Matematică [2]. Există, de asemenea, evaluări mai precise, și anume: , pentru

Binomul lui Newton

1

de Laurențiu Panaitopol Într-o notă publicată la această rubrică (G.M. nr. 9/1983) au fost prezentate câteva exerciții în care se utilizează simbolurile . În cele ce urmează vom căuta să atragem atenția asupra celor mai frecvente probleme – de dificultate medie – care se rezolvă cu ajutorul formulelor: , unde și . În fiecare dezvoltare […]

Permutări, aranjamente, combinări

1

de Laurențiu Panaitopol Nu vom aborda aici probleme de combinatorică, ci numai exerciții în care se utilizează simbolurile . Se notează , unde =~1″ title=”k~>=~1″/> avem . Se demonstrează imediat identitățile: ~k~>=~1″ title=”n~>~k~>=~1″/>. Vom începe prin a prezenta câteva exerciții care să atragă atenția asupra condițiilor în care notațiile și au sens. Exercițiul 1. Să […]

Concursul Interjudetean de Matematica si Fizica “Laurentiu Panaitopol”

Va multumim pentru participare!

Subiectele, rezultatele si fotografiile ediției din acest an a Concursului Interjudetean de Matematica si Fizica “Laurentiu Panaitopol” sunt disponibile la această adresă.